Matematické a počítačové metody ve fyzice

Magisterský studijní obor Matematické a počítačové metody ve fyzice je navržen pro studenty fyziky. (Obdobný program pro studenty matematiky se jmenuje Matematické modelování ve fyzice a technice, detailní popis tohoto oboru lze nalézt zde.)

Kontakty

Pokud máte jakékoliv otázky ohledně studia matematického modelování, pište prosím na
cizek@mbox.troja.mff.cuni.cz (Martin Čížek) nebo prusv@karlin.mff.cuni.cz (Vít Průša).

Přijímací řízení

Průběh přijímacího řízení pro obor Matematické modelování ve fyzice a technice, včetně odkazů na vzorové zadání písemné přijímací zkoušky, je vyčerpávajícím způsobem popsán na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty.

Upozorňujeme také, že přijímací zkouška vám může být prominuta, podrobnosti najdete na stránkách garanta studijního programu matematika.

Pokud se neorientujete v pokročilých matematických partiích jako je například funkcionální analýza, ale jste přesto silně motivování studovat matematické modelování, napište nám, a my vám doporučíme vhodné učebnice a materiály pro samostatné studium.

Očekáváme, že do navazujícího magisterského studia vstoupíte s dobrými znalostmi následující problematiky. Podotýkáme, že níže uvedená témata jsou na dostatečné úrovni taktéž pokryta bakalářskými předměty Lineární algebra I, Lineární algebra II, Matematická analýza I, Matematická analýza II, Matematika pro fyziky I, Matematika pro fyziky II and Matematika pro fyziky III, které jsou standardní součástí baklářského studia na programu fyzika na Matematicko-fyziální fakultě.

  • Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných. Limity, derivace, křivkový, plošný a objemový integrál. Základy variačního počtu.
  • Základy teorie míry, Lebesgueův integrál. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Teorie míry a integrálu I. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy lineární algebry. Vektorové prostory, matice, determinanty, Jordanův kanonický rozklad, ortogonalizace, vlastní vektory a vlastní čísla, multilineární algebra, kvadratické formy.
  • Základy numerického řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Schurova věta, QR rozklad, LU rozklad, singulární rozkla, metoda nejmenších čtverců, metoda sdružených gradientů, GMRES, zpětná chyba, citlivost a numerická stabilita. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Analýza maticových výpočtů I. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy komplexní analýzy. Cauchyho věta, reziduová věta, konformní zobrazení, Laplaceova transformace. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do komplexní analýzy. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy funkcionální analýzy a teorie metrických prostorů. Banachovy a Hilbertovy prostory, operátory a funkcionály, Hahnova-Banachova věta, duální prostory, omezené operátory, kompaktní operátory, teorie distribucí. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do funkcionální analýzy. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Existence řešení, maximální řešení, systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, základy teorie stability. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Obyčejné diferenciální rovnice. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy klasické teorie parciálních diferenciálních rovnic. Kvazilineání rovnice prvního řády, Laplaceova rovnice a rovnice pro vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou konečných diferencí. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy klasické mechaniky. Newtonovy pohybové zákony, Lagrangeovy rovnice, Hamiltonovy rovnice, variační principy, mechanika pevného tělesa. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Teoretická mechanika. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.

Studijní plán

Standardní doba studia je dva roky. Očekává se, že v prvním roce studia si zvolíte téma diplomové práce. Přednášky jsou rozděleny do tří kategorií: povinné, povinně volitelné a volitelné.

Povinné předměty musíte absolvovat všechny bez vyjímky. Podivný termín povinně volitelné znamená, že ze seznamu povinně volitelných předmětů musíte absolvovat alespoň některé, výběr je na vás. (Z povinně volitelných předmětů musíte získat určitý počet kreditů, podrobnosti najdete na fakultních stránkách.) Výběr povinně volitelných předmětů by měl souviset s problematikou studovanou v rámci diplomové práce. Promluvte si s vedoucím diplomové práce, jistě vám pomůže s výběrem. Volitelné předměty podléhají plně vašemu výběru.

Povinné předměty

Všechny tyto předměty musíte během studia absolvovat. V předposledním sloupci tabulky je vyznačen doporučený ročník studia. Kromě předmětů uvedených v tabulce si ještě musíte zapsat “virtuální” předměty Diplomová práce I, II, III. (Zapisují se v druhém, třetím a čtvrtém semestru studia.) Za tyto předměty dostanete zápočet od vedoucího diplomové práce. Očekává se, že také dvakrát vystoupíte na semináři Vybrané problémy matematického modelování. (Frázi “očekává se” si vykládejte tak, že vystoupení na semináři je většinou nutnou podmínkou k získání zápočtu z předmětu Diplomová práce I a III.)

Přednáška Obsah Rok Semestr
Úvod do funkcionální analýzy normované lineární prostory, Banachovy a Hilbertovy prostory, lineární funkcionály a oparátory, Hahnova-Bahnachova věta, princip stejnoměrné omezenosti, věta o otevřené zobrazení, dualita a reflexivní prostory, teorie kompaktních operátorů, Fredholmovy věty, konvoluce a základní vlastnosti L_p prostorů, distribuce a temperované distribuce 1 zimní
Parciální diferenciální rovnice 1 pojem slabého řešení, Lebesgueovy a Sobolevovy prostory, lineární eliptické parciální diferenciální rovnice 1 zimní
Analýza maticových výpočtů I základy numerické lineární algebry, řešení soustav lineárních algebraických rovnic, metoda nejmenších čtverců, problémy vlastních čísel 1 zimní
Metoda konečných prvků I základy teorie metody konečných prvků, lineární eliptické parciální diferenciální rovnice 1 zimní
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic jednokrokové a vícekrokové metody (algoritmy, analýza, konvergence), diskrétní a spojité dynamické systémy 1 zimní
Simulace ve fyzice mnoha částic základy metody Monte Carlo a metod molekulární dynamiky 1 zimní
Parciální diferenciální rovnice 2 Bochnerovy prostory, lineární parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice 1 letní
Maticové iterační metody
Přednáška byla zrušena v roce 2020 a byla nahrazena přepracovanou přednáškou Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti, viz níže.
iterační metody, metody založené na krylovovských podprostorech 2 zimní
Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti iterační metody, metody založené na krylovovských podprostorech 2 letní

Povinně volitelné předměty

Povinně volitelné předměty jsou rozděleny do pěti skupin – mechanika kontinua, molekulární dynamika, kvantové systémy, obecná teorie relativity a částicová fyzika. Z povinně volitelných předmětů musíte získat jistý počet kreditů, podrobnosti najdete na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty. Volbou skupiny předmětů si volíte užší zaměření studia a v podstatě také jeden z okruhů pro ústní část státní závěrečné zkoušky. Očekává se, že předměty budete volit s rozvahou a na základě doporučení vedoucího diplomové práce, a že se nebudete snažit volit předměty tak, aby byl výsledný soubor přemětů “co nejméně náročný” a podobně.

Mechanika kontinua

Přednáška Obsah Rok Semestr
Mechanika kontinua úvod do mechaniky kontinua, kinematika, bilanční rovnice, linearizovaná pružnost, Navierova–Stokesova tekutina 1/2 zimní
Teorie směsí mechanika a termodynamika směsí 2 zimní
Počítačové řešení úloh mechaniky kontinua přehled komerčních/akademických softwareových produktů pro numerické výpočty (Matlab, Femlab, FEniCS) a jejich využití pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, základní numerické knihovny (BLAS, Lapack, Petsc), knihovy pro konečné prvky (Feat, Featflow), knihovny pro paralelní výpočty (MPI, OpenMP) 1 letní
Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin nenewtonovské jevy, konstitutivní vztahy pro nenewtonovské tekutiny, termodynamika nenewtonovských tekutin 1/2 letní
Termodynamika a mechanika pevných látek mechanika a termodynamika pro nelineární pevné látky, konstitutivní vztahy pro nelineární pevné látky 1/2 letní
Nelineární funkcionální analýza
V roce 2020 byla přednáška přejmenována na Nelineární diferenciální rovnice, viz níže.
nelineární operátory v Banachových a Hilbertových prostorech, monotónní, pseudomonotónní a potenciální operátory 2 letní
Nelineární difrenciální rovnice nelineární operátory v Banachových a Hilbertových prostorech, monotónní, pseudomonotónní a potenciální operátory 2 letní
Numerické řešení evolučních rovnic teoretické a praktické aspekty řešení evolučních diferenciálních rovnic 2 letní
Řešení nelineárních algebraických rovnic
V akademickém roce 2020/2021 se přednáška koná naposledy. Od roku 2021/2022 je přednáška nahracena přednáškou Numerické metody optimalizace 1.
teoretické a praktické aspekty řešení nelineárních algebraických rovnic a jejich systémů 2 zimní

Molekulární dynamika

Přednáška Obsah Rok Semestr
Metody matematické statistiky základy teorie odhadů a testování hypotéz 2 letní
Pokročilé simulace ve fyzice mnoha částic pokročilé metody molekulární dynamiky a jejich vybrané aplikace (kritické jevy, tuhé molekuly, dlouhodosahové síly, složité molekulární systémy, nerovnovážné jevy, transportní koeficienty, procesy růstu, kinetické Monte Carlo, optimalizační úlohy, kvantové Monte Carlo, multiškálové simulace) 2 letní
Počítačové modelování ve fyzice plazmatu I základy počítačové fyziky, úvod do teorie plazmatu 2 zimní
Počítačové modelování ve fyzice plazmatu II elementární procesy v plazmatu, transportní jevy v plazmatu, částicové a spojité modelování ve fyzice plazmatu a plazmochemii 2 letní
Počítačové modelování biomolekul metody pro racionální návrh struktury léků, vyhledávání a vizualizace struktur biomolekul 2 letní
Termodynamika a statistická fyzika II termodynamická limita, Gibbsův paradox, nerozlišitelnost částic, kvantové statistické soubory, klasická limita, teorie fluktuací, ekvivalence statistických souborů, ideální Boseho a Fermiho plyn, interagující systémy: viriálový rozvoj, kritické jevy, přiblížení středního pole, škálovací hypotéza, Transportní jevy, Boltzmannova kinetická rovnice 2 letní

Kvantové systémy

Přednáška Obsah Rok Semestr
Kvantová teorie molekul Bornova-Oppenheimerova a adiabatická aproximace, Hückelova metoda, Hartreeho, Hartreeho-Fockovy a Roothaanovy rovnice, semiempirické a ab initio metody kvantové chemie, korelační energie, symetrie, mezimolekulární interakce, polarizovatelnost, kmity molekul, chemická reaktivita 2 letní
Kvantová teorie rozptylu základy formální teorie rozptylu v nerelativistické kvantové mechanice, analytické vlastnosti rozptylových veličin, řešené příklady z teorie rozptylu a základní numerické metody pro řešení rozptylových úloh 2 zimní
Teorie srážek atomů a molekul pokročilé partie z teorie atomových procesů s aplikacemi v nerelativistické astrofyzice a fyzikální chemii, úvod do mnohočásticové atomové a molekulové teorie, metody výpočtů srážkových procesů a reakcí, aplikace na srážky elektronů s atomy a molekulami 2 letní
Teorie grup a její aplikace ve fyzice základní pojmy a výsledky teorie grup a jejich reprezentací pro konečné i spojité Lieovy grupy 2 zimní
Kvantová mechanika II identické částice a systémy mnoha částic, skládání momentů hybnosti, časově závislá poruchová teorie, teorie středního pole, atomy a molekuly, symetrie a zákony zachování, základy teorie chemické vazby, matice hustoty a otevřené systémy 2 letní

Obecná teorie relativity

Přednáška Obsah Rok Semestr
Obecná teorie relativity úvod do obecné teorie relativity, princip ekvivalence a princip obecné kovariance, paralelní přenos a rovnice geodetiky, gravitační frekvenční posun, křivost, tenzor energie a hybnosti a Einsteinův gravitační zákon, Schwarzschildovo a Kerrovo řešení Einsteinových rovnic, pojem černé díry, homogenní a izotropní kosmologické modely 2 letní
Geometrické metody teoretické fyziky I základy topologie, diferencovatelné variety, jejich tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, afinní konexe, paralelní přenos a geodetické křivky, torze a křivost, prostor konexí, Riemannovy a pseudo-Riemannovy variety, Riemannova konexe, Gaussova teorie ploch, Gaussova formule, Lieova derivace, Killingovy vektory, vnější kalkulus, integrování na varietách, hustoty, integrální věty 2 zimní
Relativistická fyzika I tenzorová analýza, křivost prostoročasu a Einsteinův gravitační zákon, Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic, černé díry a gravitační kolaps, astrofyzika černých děr, obecná relativita v dalších partiích fyziky, linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny 2 zimní
Základy numerického studia prostoročasů metody pro numerické řešení Einsteinových rovnic 2 zimní
Geometrické metody teoretické fyziky II Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem, integrace na varietách, Hodgeova teorie, Lieovy grupy a algebery, fibrované prostory, geometrická formalace kalibračních polí, SL(2,C) spinory 2 letní
Úvod do analýzy na varietách základy analýzy na varietách 2 zimní

Částicová fyzika

Přednáška Obsah Rok Semestr
Fyzika elementárních částic základní vlastnosti částic, modely částic (SU(3), osminásobná cesta, kvarkový model, interakce mezi částicemi (silné, elektromagnetické, slabé) a jejich sjednocení 2 zimní
Základy teorie elektroslabých interakcí fenomenologická V-A teorie slabých interakcí, idea sjednocení slabých a elektromagnetických interakcí, neabelovská kalibrační pole a Higgsův mechanismus, Glashow-Weingberg-Salamův standardní model elektroslabých interakcí 2 letní
Kvarky, partony a kvantová chromodynamika kvarkový model hadronů, partonový model a hluboký nepružný rozptyl leptonů na hadronech, syntéza předchozích modelů v rámci kvantové teorie pole 2 letní
Částice a pole I kalibrační teorie 2 zimní
Vybrané partie teorie kvantovaných polí I dráhový integrál v kvantové mechanice, diskrétní aproximace a operátorové uspořádání, Wienerova míra, elementární dráhové integrály, Gaussovské dráhové integrály, aplikace Greenovy funkce, vytvořující funkcionály, efektivní akce, adiabatická aproximace, Wickova rotace a kvantová teorie při konečné teplotě, Berezinův integrál, poruchová teorie, Feynmanovy grafy, WKB aproximace, instantony 2 zimní
Software a zpracování dat ve fyzice částic I software používaných ve fyzice částic 1 letní
Software a zpracování dat ve fyzice částic II simulace srážek a průchod částic detektorem, statistické metody nutné pro vyhodnocování dat z moderních detektorů, jejich použití například pro měření vlastností detektorů, rekonstrukce dráhy částic a jejich průsečíků – vertexů, metody fitování a určování chyby měření, programový analytický balík ROOT 2 zimní
Neuronové sítě v částicové fyzice neuronové sítě – trénink, zpětná vazba chyby, Hessova matice, regularizace v neuronových sítích, Bayesovské neuronové sítě, dvojí použití neuronových sítí – aproximace a rozhodnutí 2 zimní

Ostatní

Přednáška Obsah Rok Semestr
Funkcionální analýza I topologické prostory, slabá topologie, vektorová integrace, spektrální teorie 2 zimní
Obyčejné diferenciální rovnice 2 dynamické systémy, Poincarého-Bendixsonova teorie, Carathéodoryho pojem řešení, optimální řízení, Pontryaginův princip maxima, bifurkace, stabilní, nestabilní a centrální varieta 2 zimní
Parciální diferenciální rovnice 3 lineární a nelineární evoluční rovnice, teorie semigrup, asymptotické chování řešení parciáních diferenciálních rovnic, optimální řízení 2 zimní
Teorie nanoskopických systémů I modely nezávislých fermionů a bosonů Hartree-Fock teorie fermionů a bosonů (Gross-Pitajevského rovnice, HF metoda při konečné teplotě), Brueckner-Hartree-Fock teorie (G-matice pro 2D elektronový plyn), hustotní (density) funkcionální teorie (DFT) (příklady aplikací DFT – Thomas-Fermi teorie atomu, základní stav rozpuštěného plynu bosonů, Kohn-Sham rovnice), kvantové body v magnetickém poli (model nezávislých částic pro kvantové body, Hallův jev, spintronika), Monte Carlo metody 2 zimní
Moderní počítačová fyzika I použití evolučního modelování a waveletové transformace ve fyzice 2 zimní
Moderní počítačová fyzika II použití neuronových sítí ve fyzice, pokročilé techniky počítačového modelování 2 letní
Statistické metody ve fyzice vysokých energií základní statistické metody používané při analýze dat experimentů ve fyzice vysokých energií, implementace a příklady použití za pomoci nástrojů Root, RooFit a RooStat 2 letní

Témata diplomových prací

Témata diplomových prací nabízených členy oddělení matematického modelování lze dohledat v Studijním informačním systému. Pokud máte zájem pracovat na diplomové práci na oboru matematickém modelování, můžete také přímo kontaktovat jednotlivé pracovníky oddělení matematického modelování či případně jiných pracovišť podílejících se na výuce na oboru matematické modelování a dohodnout se na vypsání dalšího tématu.

Státní závěrečná zkouška

Studium je po dvou letech završeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá z ústní části a z obhajoby diplomové práce.

Obhajoba diplomové práce

Student během dvaceti minut představí výsledky získané při řešení diplomové práce. Poté následuje diskuse, během které student reaguje na případné připomínky oponentů. (Posudky od oponentů jsou předem dostupné v Studijním informačním systému. Je naprosto nezbytné abyste kvalifikovaně reagovali na připomínky oponentů, důkladně se připravte!) Na závěr student zodpoví případné dotazy členů komise či dalších zúčastněných.

Ústní zkouška

Ústní zkouška spočívá v zodpovězení několika otázek týkajících se níže uvedených témat. V principu se jedná o témata probíraná v povinných předmětech studijního plánu.

Přesněji, zkouška probíhá tak, že student zodpoví celkem šest otázek z těchto oblastí

  • teorie parciálních diferenciálních rovnic (jedna otázka),
  • funkcionální analýza (jedna otázka),
  • metoda konečných prvků (jedna otázka),
  • teorie řešení systémů algebraických rovnic (jedna otázka),

zbývající dvě otázky se týkají oblasti, ve které se student rozhodl specializovat — mechanika kontinua, molekulární dynamika, kvantové systémy, obecná teorie relativity a částicová fyzika.

Každé z odpovědí je zpravidla věnováno deset minut. Očekává se, že student prokáže hlubší pochopení jednotlivých témat a schopnost nahlédnout daná tvrzení v širším kontextu. (Neočekává se se důkladná znalost technických detailů v jednotlivých důkazech a podobně. Student by měl prokázat, že rozumí základním úvahám, které jsou použity při důkazech zásadních tvrzení, a měl by prokázat, že chápe proč jsou daná tvrzení/definice formulována právě daným způsobem. Detailní technickou znalost problematiky už jste prokázali během zkoušek z příslušných předmětů!) Seznam témat k ústní zkoušce je přiložen níže. V případě zájmu si můžete seznam témat stáhnout jako PDF soubor.



Parciální diferenciální rovnice

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student se rovněž velmi dobře orientuje v základech teorie parciálních diferenciálních rovnic ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii parciálních diferenciálních rovnic kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do parciálních diferenciálních rovnic.

Sobolevovy prostory

Slabá derivace, definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů Wk,p – reflexivita, separabilita, hustota hladkých funkcí, operátor prodloužení pro W1,p-funkce a lipschitzovskou hranici. Věty o spojitém a kompaktním vnoření Sobolevových prostorů do Lebesgueových a Hölderových prostorů. Zavedení stop pro funkce ze Sobolevových prostorů, věta o stopách, inverzní věta o stopách.

Slabá řešení pro lineární eliptické rovnice na omezené oblasti

Formulace slabé úlohy pro lineární eliptickou rovnici s různými okrajovými podmínkami, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci (symetrický operátor), pomocí Lax-Milgramova lematu respektive Galerkinovou metodou. Kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru. Fredholmova alternativa a její aplikace. Princip maxima pro slabé řešení. W2,2 regularita pomocí techniky diferencí. Samoadjungovaný operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu.

Slabá řešení pro nelineární eliptické rovnice na omezené oblasti

Úvod do variačního počtu, základní věta variačního počtu, duální formulace, souvislost s konvexitou. Existence a jednoznačnost řešení nelineárních úloh pomocí věty o pevném bodu (nelineární Lax-Milgram pro dvojkovou strukturu). Existence řešení pomocí Galerkinovy metody a Mintyho metody – monotónní operátor a semilineární člen.

Lineární parabolické rovnice 2. řádu

Bochnerovy prostory a jejich základní vlastnosti, Gelfandova trojice, Aubin-Lionsova věta. Slabá formulace, nabývání počáteční podmínky, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení (časová a prostorová), zhlazující vlastnost, princip maxima.

Lineární hyperbolické rovnice 2. řádu

Slabá formulace hyperbolického problému, nabývání počátečních podmínek, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost, regularita řešení (časová a prostorová), konečná rychlost šíření signálu.

Numerická matematika

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Metoda konečných prvků a Maticové iterační metody 1. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech numerické matematiky ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v látce probírané kupříkladu v přednáškách Analýza maticových výpočtů 1 a Základy numerické matematiky.

Metoda konečných prvků pro řešení eliptických rovnic

Galerkinova a Ritzova metoda pro řešení abstraktní lineární eliptické rovnice. Odhad diskretizační chyby této metody – Céovo lemma. Definice abstraktního konečného prvku, jednoduché příklady konečných prvků Lagrangeova a Hermiteova typu. Teorie aproximací v Sobolevových prostorech: aproximační vlastnosti operátorů zachovávajících polynomy. Aplikace těchto výsledků pro prvky Lagrangeova a Hermiteova typu. Odvození řádu konvergence přibližných řešení konkrétních eliptických úloh 2. řádu. Odhad řádu konvergence v L2 normě – Nitscheho lemma.

Základy numerické integrace v metodě konečných prvků.

Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel

Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel Spektrální rozklad operátorů a matic. Invariantní podprostory a spektrální informace, normalita. Srovnání přímých a iteračních metod pro řešení lineárních algebraických soustav. Projekční proces a problém momentů. Popis konvergence iteračních metod. Souvislost mezi iteračními metodami pro řešení soustav rovnic a metodani pro výpočet vlastních čísel. Srovnání metod pro řešeni lineárních a nelineárních soustav algebraických rovnic. Numerická stabilita výpočtů a popis algebraické chyby v souvislosti s řešením problémů matematického modelování.

Funkcionální analýza

Zkoušená látka je částečně probírána v přednášce Funkcionální analýza I. Teorie prostorů funkcí je také částečně pokryta přednáškami Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech funkcionální analýzy ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do funkcionální analýzy.

Hilbertovy a Banachovy prostory

Definice, norma, skalární součin, příklady Banachových prostorů. Lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta. Duální prostory, reprezentace některých duálů (Hilbertovy prostory, Lebesgueovy prostory). Rieszova věta o reprezentaci. Slabá a *-slabá konvergence. Banach-Alaogluova věta. Slabá kompaktnost a reflexivita.

Spojitá lineární zobrazení

Definice, základní vlastnosti, norma, prostor lineárních zobrazení, adjungované zobrazení. Základní vlastnosti spektra a spektrálního poloměru, Gelfandova-Mazurova věta. Kompaktní operátory, symetrický operátor, samoadjungovaný operátor, uzávěr operátoru, uzavřený operátor, definice a vlastnosti adjungovaného operátoru. Vlastní čísla a vlastní funkce symetrických eliptických operátorů.

Věty o pevných bodech

Banachova věta, Brouwerova věta, Schauderova věta, Schaeferova věta.

Integrální transformace a základy teorie distribucí

Definice Fourierovy transformace na L1 a její základní vlastnosti, věta o inverzi, Fourierova transformace konvoluce a derivace, Plancherelova věta. Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí), Schwarzův prostor a temperované distribuce, Fourierova transformace funkcí ze Schwarzova prostoru a temperovaných distribucí, její základní vlastnosti. Fourierova transformace na L2.

Mechanika kontinua

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Mechanika kontinua, Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin a Termodynamika a mechanika pevných látek.

Kinematika kontinua

Popis pohybu spojitého prostředí. Deformace čarových, plošných a objemových elementů, deformace, deformační gradient, polární rozklad deformačního gradientu a jeho interpretace, pravý a levý Cauchyův–Greenův tenzor, Greenův–Saint-Venantův tenzor. Rychlost deformace čarových, plošných a objemových elementů. Zavedení materiálové a prostorové rychlosti, gradient rychlosti, symetrický gradient rychlosti, materiálová derivace. Isochorická deformace. Proudnice a proudočáry. Nutné a postačující podmínky pro materiálové plochy. Lagrangeův a Eulerův popis. Podmínky kompatibility pro tenzor malých deformací. Izotropní tenzorové funkce, věta o~reprezentaci izotropních tenzorových funkcí.

Dynamika kontinua

Bilanční rovnice (hmota, hybnost, moment hybnosti, celková energie, vnitřní energie, entropie) v~prostorovém i materiálovém popisu. Integrální tvar bilančních rovnic, princip lokalizace. Cauchyho tenzor napětí, první Piolův–Kirchhoffův tenzor napětí, Piolova transformace. Formulace bilančních rovnic v~neinerciální vztažné soustavě.

Jednoduché konstitutivní vztahy

Stlačitelná a nestlačitelná Navierova–Stokesova–Fourierova tekutina (viskózní tepelně vodivá tekutina), stavová rovnice ideálního plynu. Geometrická linearizace, linearizovaná teorie pro elastické pevné látky. Okrajové podmínky, okrajové podmínky pro posunutí a napětí.

Nenewtonské tekutiny

Bilanční rovnice termodynamiky kontinua v případě nenewtonovských tekutin, identifikace produkce entropie. Clausiova–Duhemova nerovnost. Předpoklad maximalizace rychlosti produkce entropie a jeho využití pro návrh matematických modelů pro tekutiny, pojem přirozené konfigurace. Přehled nenewtonovských jevů — závislost viskozity na symetrickém gradientu rychlosti a tlaku, rozdíl normálových napětí, aktivační/deaktivační kritéria, relaxace napětí (stress relaxation), tečení (non-linear creep). Princip objektivity a jeho důsledky, objektivní veličiny v mechanice tekutin, objektivní časová derivace. Využití věty o~reprezentaci izotropních tenzorových funkcí. Přehled nejpoužívanějších materiálových modelů pro nenewtonovské tekutiny. Tekutiny mocninného typu, tekutiny s~viskozitou závislou na tlaku, tekutiny Binghamova typu. Viskoleastické tekutiny a zjednodušené modely typu pružina–tlumič. Kortewegovy tekutiny.

Pevné látky

Princip objektivity a jeho důsledky, objektivní veličiny v mechanice pevných látek. Elastické materiály v~teorii konečných deformací, linearizovaná teorie. Nestlačitelné materiály v~teorii konečných deformací a v linearizované teorii. Elastický materiál jako materiál, který neprodukuje entropii, souvislost mezi tenzorem napětí a volnou energií. Hyperelastický materiál, příklady hyperelastických materiálů, chování vzhledem k determinantu deformačního gradientu. Variační formulace statické úlohy pro hyperelastický materiál. Viskoelastické pevné látky — Kelvinův–Voigtův model — a zjednodušené modely typu pružina–tlumič.

Molekulární dynamika

Základy statistické fyziky

Statistický popis termodynamiky. Liouvilleova rovnice. Základní statistické soubory, mikrokanonický, kanonický a velký kanonický soubor. Kvantová statistická mechanika. Maxwellovo-Boltzmannovo, Fermiho-Diracovo a Boseovo-Einsteinovo rozdělení. Základní vztahy statistické mechaniky pro simulace (výpočet termodynamických veličin, egodický teorém) a role numerických simulací.

Základy simulace fyzikálních systémů metodou Monte Carlo

Základy metody Monte Carlo (integrace metodou MC, Markovovy řetězce, chyba MC integrace). Realizace Monte Carlo kroku (prosté a prefreční vzorkování, Metropolisova metoda). Metody generování pseudonáhodných čísel. MC simulace diskrétních modelů (Isingův model, práh perkolace). MC simulace jednoduchých modelů kapalin.

Základy molekulární dynamiky

Princip metody molekulární dynamiky. Pohybové rovnice klasického mnohočásticového systému. Interakční potenciály a okrajové podmínky. Simulace v různých statistických souborech —- NVE, NVT, NPT, grandkanonický.

Určování termodynamických a strukturních vlastností ze simulací

Výpočet měrného tepla a susceptibily pomoci fluktuací. Radiální distribuční funkce.

Pokročilé metody simulace mnoha částic

Fázové přechody a kritické jevy. Fázové a reakční rovnováhy. Simulace procesů růstu. Kvantové simulace. Výpočet kinetických koeficientů. Kinetické Monte Carlo. Určování energetických bariér užitím molekulární statiky. Optimalizační metody.

Základy modelování fyziky plazmatu

Charakteristika a typy plazmatu. Kvazineutralita plazmatu, Debyeova stínící vzdálenost. Teoretický popis plazmatu, kinetický popis, Boltzmannova rovnice, zákony zachování, magnetohydrodynamický popis.

Kvantové systémy

Základy kvantové mechaniky

Popis stavů a měřitelných veličin. Operátory, komutační relace. Časový vývoj v kvanové mechanice. Popis měření. Stacionární stavy a integrály pohybu.

Řešitelné systémy

Částice v potenciálové jámě, lineární harmonický oscilátor, coulombické pole.

Moment hybnosti a spin

Definice momentu hybnosti, spektrum a vlastní funkce. Skládání momentů hybnosti, Clebschovy-Gordanovy koeficienty. Vektorové a tenzorové operátory, ireducibilní složky a Wignerova-Eckartova věta.

Základní přibližné metody

Variační metoda a poruchový počet. Systémy mnoha částic: symetrizační postulát, bosony, fermiony, Slaterův determinant, vliv spinu.

Teorie rozptylu

Mollerovy operátory a S-matice. Účinný průřez. Časově nezávislá formulace rozptylu, Lippmannova-Schwingerova rovnice. Póly S-matice a vlastní fáze. Základy mnohokanálové teorie rozptylu.

Základní metody mnohočásticové kvantové fyziky

Metoda středního pole, korelační energie a metody pro její výpočet, druhé kvantování. Základy teorie atomů a molekul: elektronová struktura, vibrační a rotační stavy molekul, použití teorie grup, optické přechody.

Výpočetní metody teorie rozptylu

Rozvoj do parciálních vln. Bornova řada. Variační principy. Teorie R-matice.

Obecná teorie relativity

Výchozí principy speciální a obecné teorie relativity

Prostoročas, čtyřrozměrný formalismus, transformace souřadnic. Metrika, afinní konexe, kovariantní derivace. Paralelní přenos a rovnice geodetiky. Posun frekvence v gravitačním poli. Lieova derivace a Killingovy vektory, tenzorové hustoty. Integrování na varietách (hustoty, integrální věty). Křivost prostoročasu.

Einsteinův gravitační zákon a jeho důsledky

Tenzor energie a hybnosti, zákony zachování a pohybové rovnice. Einsteinovy rovnice gravitačního pole. Schwarzschildova a Reissnerova-Nordströmova metrika. Kerrova a Kerrova-Newmanova metrika.

Relativistická astrofyzika a kosmologie

Relativistické modely hvězd. Gravitační kolaps a černé díry. Kritické chování gravitačního kolapsu. Relativistická kosmologie, FLRW modely.

Vlastnosti Einsteinových rovnic

Linearizovaná teorie gravitace a rovinné gravitační vlny. Lagrangeovský formalismus v obecné relativitě, zákony zachování. Hamiltonovský formalismus v obecné relativitě, počáteční problém. Konformní rozklad rovnic vazeb, počáteční data. Einsteinovy rovnice jako hyperbolický systém parciálních diferenciálních rovnic.

Částicová fyzika

Základní představy a metody kvantové teorie pole

Rovnice relativistické kvantové mechaniky. Kvantování volných polí. Interakce polí, Feynmanovy diagramy.

Klasifikace a vlastnosti elementárních částic

Leptony, hadrony a nositelé interakcí. Spin, parita, nábojová parita, podivnost, izospin. Zákony zachování.

Struktura hadronů

Kvarkový model, barva, partony, distribuční funkce.

Základy standardního modelu elementárních částic

Elektroslabé interakce. Higgsův mechanismus. Kvantová chromodynamika.

Interakce částic s prostředím a metody měření částic v experimentech

Měření energie, hybnosti a doby letu částic. Identifikace částic. Monte Carlo simulace průchodu částic detektorem.

Metody analýzy dat v experimentech fyziky částic

Softwarové nástroje. Výběrová pravidla a multivariační analýza. Neuronové sítě.