Magisterský studijní obor Matematické modelování ve fyzice a technice je navržen pro studenty matematiky. (Obdobný program pro studenty fyziky se jmenuje Matematické a počítačové metody ve fyzice, detailní popis tohoto oboru lze nalézt zde.)
Kontakty
Pokud máte jakékoliv otázky ohledně studia matematického modelování, pište prosím na prusv@karlin.mff.cuni.cz (Vít Průša) nebo malek@karlin.mff.cuni.cz (Josef Málek).
Přijímací řízení
Průběh přijímacího řízení pro obor Matematické modelování ve fyzice a technice, včetně odkazů na vzorové zadání písemné přijímací zkoušky, je vyčerpávajícím způsobem popsán na stránkách garanta studijního programu matematika.
Upozorňujeme také, že přijímací zkouška vám může být prominuta, podrobnosti najdete na stránkách garanta studijního programu matematika.
Pokud se neorientujete v pokročilých matematických partiích jako je například funkcionální analýza, ale jste přesto silně motivování studovat matematické modelování, napište nám, a my vám doporučíme vhodné učebnice a materiály pro samostatné studium.
Očekáváme, že do navazujícího magisterského studia vstoupíte s dobrými znalostmi následující problematiky.
- Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných. Limity, derivace, křivkový, plošný a objemový integrál. Základy variačního počtu.
- Základy teorie míry, Lebesgueův integrál. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Teorie míry a integrálu I. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
- Základy lineární algebry. Vektorové prostory, matice, determinanty, Jordanův kanonický rozklad, ortogonalizace, vlastní vektory a vlastní čísla, multilineární algebra, kvadratické formy.
- Základy numerického řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Schurova věta, QR rozklad, LU rozklad, singulární rozkla, metoda nejmenších čtverců, metoda sdružených gradientů, GMRES, zpětná chyba, citlivost a numerická stabilita. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Analýza maticových výpočtů I. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
- Základy komplexní analýzy. Cauchyho věta, reziduová věta, konformní zobrazení, Laplaceova transformace. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do komplexní analýzy. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
- Základy funkcionální analýzy a teorie metrických prostorů. Banachovy a Hilbertovy prostory, operátory a funkcionály, Hahnova-Banachova věta, duální prostory, omezené operátory, kompaktní operátory, teorie distribucí. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do funkcionální analýzy. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
- Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Existence řešení, maximální řešení, systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, základy teorie stability. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Obyčejné diferenciální rovnice. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
- Základy klasické teorie parciálních diferenciálních rovnic. Kvazilineání rovnice prvního řády, Laplaceova rovnice a rovnice pro vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou konečných diferencí. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
- Základy klasické mechaniky. Newtonovy pohybové zákony, Lagrangeovy rovnice, Hamiltonovy rovnice, variační principy, mechanika pevného tělesa. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Teoretická mechanika. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
Studijní plán
Standardní doba studia je dva roky. Očekává se, že v prvním roce studia si zvolíte téma diplomové práce. Přednášky jsou rozděleny do tří kategorií: povinné, povinně volitelné a volitelné.
Povinné předměty musíte absolvovat všechny bez vyjímky. Podivný termín povinně volitelné znamená, že ze seznamu povinně volitelných předmětů musíte absolvovat alespoň některé, výběr je na vás. (Z povinně volitelných předmětů musíte získat určitý počet kreditů, podrobnosti najdete na fakultních stránkách.) Výběr povinně volitelných předmětů by měl souviset s problematikou studovanou v rámci diplomové práce. Promluvte si s vedoucím diplomové práce, jistě vám pomůže s výběrem. Volitelné předměty podléhají plně vašemu výběru.
Povinné předměty
Všechny tyto předměty musíte během studia absolvovat. V předposledním sloupci tabulky je vyznačen doporučený ročník studia. Kromě předmětů uvedených v tabulce si ještě musíte zapsat “virtuální” předměty Diplomová práce I, II, III. (Zapisují se v druhém, třetím a čtvrtém semestru studia.) Za tyto předměty dostanete zápočet od vedoucího diplomové práce. Očekává se, že také dvakrát vystoupíte na semináři Vybrané problémy matematického modelování. (Frázi “očekává se” si vykládejte tak, že vystoupení na semináři je většinou nutnou podmínkou k získání zápočtu z předmětu Diplomová práce I a III.)
| Přednáška | Obsah | Rok | Semestr |
|---|---|---|---|
| Funkcionální analýza I | topologické prostory, slabá topologie, vektorová integrace, spektrální teorie | 1 | zimní |
| Mechanika kontinua | úvod do mechaniky kontinua, kinematika, bilanční rovnice, linearizovaná pružnost, Navierova–Stokesova tekutina | 1 | zimní |
| Metoda konečných prvků I | základy teorie metody konečných prvků, lineární eliptické parciální diferenciální rovnice | 1 | zimní |
| Parciální diferenciální rovnice 1 | pojem slabého řešení, Lebesgueovy a Sobolevovy prostory, lineární eliptické parciální diferenciální rovnice | 1 | zimní |
| Termodynamika a statistická fyzika | základní ideje, metody a výsledky z klasické rovnovážné termodynamiky a statistické fyziky | 1 | zimní |
| Parciální diferenciální rovnice 2 | Bochnerovy prostory, lineární parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice | 1 | letní |
| Počítačové řešení úloh mechaniky kontinua | přehled komerčních/akademických softwareových produktů pro numerické výpočty (Matlab, Femlab, FEniCS) a jejich využití pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, základní numerické knihovny (BLAS, Lapack, Petsc), knihovy pro konečné prvky (Feat, Featflow), knihovny pro paralelní výpočty (MPI, OpenMP) | 1 | letní |
| Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin | nenewtonovské jevy, konstitutivní vztahy pro nenewtonovské tekutiny, termodynamika nenewtonovských tekutin | 1 | letní |
| Termodynamika a mechanika pevných látek | mechanika a termodynamika pro nelineární pevné látky, konstitutivní vztahy pro nelineární pevné látky | 1 | letní |
Přednáška byla v roce 2020 zrušena a byla nahrazena přepracovanou přednáškou Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti, která je nyní vedena jako povinně volitelná. Z pohledu plnění studijních povinností pro studenty, kteří zahájili studium v akademickém roce 2020/2021 jsou přednášky Maticové iterační metody a Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti rovnocenné. Studenti, kteří zahájili studium v roce 2021/2022 a později, si místo povinné přednášky Maticové iterační metody zapisují povinnou přednášku Algoritmy maticových iteračních metod, viz níže. |
|||
| Algoritmy maticových iteračních metod | maticové iterační metody, metody založené na krylovovských podprostorech, efektivní implementace | 2 | zimní |
Povinně volitelné předměty
Povinně volitelné předměty lze rozdělit do tří skupin – fyzikální předměty, teorie parciálních diferenciálních rovnic a numerická matematika. Z povinně volitelných předmětů musíte získat jistý počet kreditů, podrobnosti najdete na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty. Očekává se, že předměty budete volit s rozvahou a na základě doporučení vedoucího diplomové práce, a že se nebudete snažit volit předměty tak, aby byl výsledný soubor přemětů “co nejméně náročný” a podobně.
| Přednáška | Obsah | Rok | Semestr |
|---|---|---|---|
| High-performance computing for computational science | metody a nástroje pro složité vědecko-technické výpočty, paralelizace | 2 | zimní |
| Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti | iterační metody, metody založené na krylovovských podprostorech | 2 | letní |
| Obyčejné diferenciální rovnice 2 | dynamické systémy, Poincarého-Bendixsonova teorie, Carathéodoryho pojem řešení, optimální řízení, Pontryaginův princip maxima, bifurkace, stabilní, nestabilní a centrální varieta | 1 | zimní |
| Klasická elektrodynamika | Maxwellovy rovnice, stacionární a kvazistacionární aproximace, elektromagnetické vlny | 1 | letní |
| Klasické úlohy mechaniky kontinua | termální konvekce, teorie mezní vrstvy, stabilita proudění | 1 | letní |
Přednáška byla zrušena v roce 2020/2021 a byla nahrazena přednáškou Modelování v biomechanice, viz níže. Nová přednáška Modelování v biomechanice je z pohledu plnění studijního plánu rovnocenná s přednáškou Biotermodynamika. |
|||
| Modelování v biomechanice | aplikace mechaniky kontinua při popisu biologických systémů | 2 | zimní |
| Matematické metody v mechanice nenewtonovských tekutin | matematické metody a techniky pro zkoumání existence, jednoznačnosti, regularity a asymptotického chování slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících proudění nenewtonovských tekutin | 2 | zimní |
| Matematické metody v mechanice pevných látek | matematické metody a techniky pro analýzy počátečních a okrajových úloh v mechanice a termodynamice pevných látek | 2 | zimní |
| Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 1 | pseudomonotónní a monotónní operátory, mnohoznačné operátory a aplikace na nelineární eliptické parciální diferenciální rovnice a nerovnice | 2 | zimní |
| Numerické metody v mechanice tekutin 1 | Stokesův problém, Oseenův problém, stacionární a nestacionární Navierovy-Stokesovy rovnice, řešitelnost diskretizovaných systémů, Babuškova-Brezziho podmínka | 2 | zimní |
| Numerický software 1 | implementace numerických metod | 2 | zimní |
| Řešení nelineárních algebraických rovnic V akademickém roce 2020/2021 se přednáška koná naposledy. Od roku 2021/2022 je přednáška nahracena přednáškou Numerické metody optimalizace 1, viz níže. |
maticové iterační metody, projektivní metody, věty o střední hodnotě, jednokrokové stacionární iterační metody, soustavy nelineárních rovnic, metody spádových směrů, metody s lokálně omezeným krokem, strategie metody s lokálně omezeným krokem, Newtonova metoda, konvergence, modifikace Newtonovy metody, kvazinewtonovské postupy | 2 | zimní |
| Numerické metody optimalizace 1 | numerické řešení nelineárních rovnic a minimalizace funkcionálů | 2 | zimní |
| Sedlobodové úlohy a jejich řešení | sedlobodové úlohy, iterační metody, předpodmiňování, implementace, numerická stabilita | 2 | zimní |
| Teorie směsí | mechanika a termodynamika směsí | 2 | zimní |
| Elektromagnetické pole a speciální teorie relativity | elektrostatika, magnetostatika, elektromagnetismus (Maxwellovy rovnice, Lorentzova síla, elektromagnetické vlny, elektrické obvody), Minkowského časoprostor, Lorentzova transformce, relativistická fyzika částic, relativistická formulace teorie elektromagnetického pole | 2 | letní |
| Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic | matematické metody a techniky pro zkoumání existence, jednoznačnosti, regularity a asymptotického chování slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících proudění nestlačitelné Navierovy-Stokesovy tekutiny | 2 | letní |
| Matematická teorie stlačitelných tekutin | matematické metody a techniky pro zkoumání existence, jednoznačnosti, regularity a asymptotického chování slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících proudění stlačitelných tekutin | 2 | letní |
| Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 2 | pseudomonotónní a monotónní operátory, mnohoznačné operátory a aplikace na nelineární parabolické parciální diferenciální rovnice a nerovnice | 2 | letní |
| Numerické metody v mechanice tekutin 2 | Eulerovy rovnice, vlastnosti Eulerových rovnic, Cauchyho úloha, slabé řešení, metoda konečných objemů, síť konečných objemů, odvození základního schématu metody konečných objemů, vlastnosti numerického toku, konstrukce některých numerických toků, Godunovova metoda | 2 | letní |
| Numerický sowtware 2 | implementace numerických metod | 2 | letní |
| Paralelní maticové výpočty | výpočetní modely pro paralelní počítačové architektury, základní paralelní operace s hustými a řídkými maticemi, paralelizace přímých metod pro řídké matice, paralelní předpodmíněné krylovovské metody, paralelizace výpočtů rozdělením na oblasti a vícesíťové metody | 2 | letní |
| Parciální diferenciální rovnice 3 | lineární a nelineární evoluční rovnice, teorie semigrup, asymptotické chování řešení parciáních diferenciálních rovnic, optimální řízení | 2 | zimní |
| GENERIC — nerovnovážná termodynamika | termodynamika ve formalismu GENERIC (General Equation for Non-equilibrium Reversible-Irreversible Coupling) | 2 | zimní |
| Nerovnovážná termodynamika elektrochemie | rovnice popisující elektrochemické procesy | 2 | letní |
| Simulation and theory of biological and soft matter systems I – Biopolymers, ions and small molecules | úvod do teorie a techniky pro simulace biologických systémů | 2 | zimní |
| Simulation and theory of biological and soft matter systems II – Interfaces, self-assembly and networks | teorie rozhraní, membrán, samouspořádání a další fenomenologické modely pro biologické systémy | 2 | letní |
Volitelné předměty
Výběr volitelných předmětů je čistě na vás, můžete si vybrat jakýkoliv předmět vyučovaný na Univerzitě Karlově. Pokud nevíte jaké předměty si zvolit, zeptejte se vedoucího diplomové práce nebo starších spolužáků, jistě vám dobře poradí. Vaší pozornosti by neměly uniknout tyto předměty.
| Přednáška | Obsah | Rok | Semestr |
|---|---|---|---|
| Kvalitativní vlastnosti řešení parciálních diferenciálních rovnic | seminář zaměřený na diskusi klasických výsledků o regularitě a kvalitativních vlastnostech slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic | 2 | zimní |
| Regularita řešení Navierových-Sokesových rovnic | diskuse nových výsledků v matematické teorii evolučních Navierových-Stokesových rovnic, pozornost bude věnována zejména regularitě řešení v třídimensionálním prostoru | 2 | zimní |
| Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic | diskuse klasických výsledků o regularitě slabých řešení eliptických parciálních diferenciálních rovnic | 2 | letní |
| Seminář z parciálních dierenciálních rovnic | seminář o nových výsledcích v teorii parciálních diferenciálních rovnic | oba | oba |
| Nečasův seminář z mechaniky kontinua | tradiční výkumný seminář založený profesorem Jindřichem Nečasem, seminář (nejen) o nových výsledcích v matematické teorii mechaniky a termodynamiky kontinua | oba | oba |
Témata diplomových prací
Témata diplomových prací nabízených členy oddělení matematického modelování lze dohledat v Studijním informačním systému. Pokud máte zájem pracovat na diplomové práci na oboru matematickém modelování, můžete také přímo kontaktovat jednotlivé pracovníky oddělení matematického modelování či případně jiných pracovišť podílejících se na výuce na oboru matematické modelování a dohodnout se na vypsání dalšího tématu.
Státní závěrečná zkouška
Studium je po dvou letech završeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá z ústní části a z obhajoby diplomové práce.
Obhajoba diplomové práce
Student během dvaceti minut představí výsledky získané při řešení diplomové práce. Poté následuje diskuse, během které student reaguje na případné připomínky oponentů. (Posudky od oponentů jsou předem dostupné v Studijním informačním systému. Je naprosto nezbytné abyste kvalifikovaně reagovali na připomínky oponentů, důkladně se připravte!) Na závěr student zodpoví případné dotazy členů komise či dalších zúčastněných.
Ústní zkouška
Ústní zkouška spočívá v zodpovězení několika otázek týkajících se níže uvedených témat. V principu se jedná o témata probíraná v povinných předmětech studijního plánu.
Přesněji, zkouška probíhá tak, že student zodpoví celkem šest otázek z těchto oblastí
- teorie parciálních diferenciálních rovnic (jedna otázka),
- funkcionální analýza (jedna otázka),
- metoda konečných prvků (jedna otázka),
- teorie řešení systémů algebraických rovnic (jedna otázka),
- kinematika a dynamika spojitého prostředí (jedna otázka),
- teorie konstitutivních vztahů (jedna otázka).
Každé z odpovědí je zpravidla věnováno deset minut. Očekává se, že student prokáže hlubší pochopení jednotlivých témat a schopnost nahlédnout daná tvrzení v širším kontextu. (Neočekává se se důkladná znalost technických detailů v jednotlivých důkazech a podobně. Student by měl prokázat, že rozumí základním úvahám, které jsou použity při důkazech zásadních tvrzení, a měl by prokázat, že chápe proč jsou daná tvrzení/definice formulována právě daným způsobem. Detailní technickou znalost problematiky už jste prokázali během zkoušek z příslušných předmětů!) Seznam témat k ústní zkoušce je přiložen níže. V případě zájmu si můžete seznam témat stáhnout jako PDF soubor.
Parciální diferenciální rovnice
Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student se rovněž velmi dobře orientuje v základech teorie parciálních diferenciálních rovnic ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii parciálních diferenciálních rovnic kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do parciálních diferenciálních rovnic.
Sobolevovy prostory
Slabá derivace, definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů Wk,p – reflexivita, separabilita, hustota hladkých funkcí, operátor prodloužení pro W1,p-funkce a lipschitzovskou hranici. Věty o spojitém a kompaktním vnoření Sobolevových prostorů do Lebesgueových a Hölderových prostorů. Zavedení stop pro funkce ze Sobolevových prostorů, věta o stopách, inverzní věta o stopách.
Slabá řešení pro lineární eliptické rovnice na omezené oblasti
Formulace slabé úlohy pro lineární eliptickou rovnici s různými okrajovými podmínkami, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci (symetrický operátor), pomocí Lax-Milgramova lematu respektive Galerkinovou metodou. Kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru. Fredholmova alternativa a její aplikace. Princip maxima pro slabé řešení. W2,2 regularita pomocí techniky diferencí. Samoadjungovaný operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu.
Slabá řešení pro nelineární eliptické rovnice na omezené oblasti
Úvod do variačního počtu, základní věta variačního počtu, duální formulace, souvislost s konvexitou. Existence a jednoznačnost řešení nelineárních úloh pomocí věty o pevném bodu (nelineární Lax-Milgram pro dvojkovou strukturu). Existence řešení pomocí Galerkinovy metody a Mintyho metody – monotónní operátor a semilineární člen.
Lineární parabolické rovnice 2. řádu
Bochnerovy prostory a jejich základní vlastnosti, Gelfandova trojice, Aubin-Lionsova věta. Slabá formulace, nabývání počáteční podmínky, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení (časová a prostorová), zhlazující vlastnost, princip maxima.
Lineární hyperbolické rovnice 2. řádu
Slabá formulace hyperbolického problému, nabývání počátečních podmínek, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost, regularita řešení (časová a prostorová), konečná rychlost šíření signálu.
Numerická matematika
Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Metoda konečných prvků a Maticové iterační metody 1. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech numerické matematiky ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v látce probírané kupříkladu v přednáškách Analýza maticových výpočtů 1 a Základy numerické matematiky.
Metoda konečných prvků pro řešení eliptických rovnic
Galerkinova a Ritzova metoda pro řešení abstraktní lineární eliptické rovnice. Odhad diskretizační chyby této metody – Céovo lemma. Definice abstraktního konečného prvku, jednoduché příklady konečných prvků Lagrangeova a Hermiteova typu. Teorie aproximací v Sobolevových prostorech: aproximační vlastnosti operátorů zachovávajících polynomy. Aplikace těchto výsledků pro prvky Lagrangeova a Hermiteova typu. Odvození řádu konvergence přibližných řešení konkrétních eliptických úloh 2. řádu. Odhad řádu konvergence v L2 normě – Nitscheho lemma.
Základy numerické integrace v metodě konečných prvků.
Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel
Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel Spektrální rozklad operátorů a matic. Invariantní podprostory a spektrální informace, normalita. Srovnání přímých a iteračních metod pro řešení lineárních algebraických soustav. Projekční proces. Popis konvergence iteračních metod. Souvislost mezi iteračními metodami pro řešení soustav rovnic a metodani pro výpočet vlastních čísel. Srovnání metod pro řešeni lineárních a nelineárních soustav algebraických rovnic. Numerická stabilita a algebraická chyba.
Funkcionální analýza
Zkoušená látka je částečně probírána v přednášce Funkcionální analýza I. Teorie prostorů funkcí je také částečně pokryta přednáškami Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech funkcionální analýzy ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do funkcionální analýzy.
Hilbertovy a Banachovy prostory
Definice, norma, skalární součin, příklady Banachových prostorů. Lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta. Duální prostory, reprezentace některých duálů (Hilbertovy prostory, Lebesgueovy prostory). Rieszova věta o reprezentaci. Slabá a *-slabá konvergence. Banach-Alaogluova věta. Slabá kompaktnost a reflexivita.
Spojitá lineární zobrazení
Definice, základní vlastnosti, norma, prostor lineárních zobrazení, adjungované zobrazení. Základní vlastnosti spektra a spektrálního poloměru. Kompaktní operátory, symetrický operátor, samoadjungovaný operátor, uzávěr operátoru, uzavřený operátor, definice a vlastnosti adjungovaného operátoru. Vlastní čísla a vlastní funkce symetrických eliptických operátorů.
Věty o pevných bodech
Banachova věta, Brouwerova věta, Schauderova věta, Schaeferova věta.
Integrální transformace a základy teorie distribucí
Definice Fourierovy transformace na L1 a její základní vlastnosti, věta o inverzi, Fourierova transformace konvoluce a derivace, Plancherelova věta. Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí), Schwarzův prostor a temperované distribuce, Fourierova transformace funkcí ze Schwarzova prostoru a temperovaných distribucí, její základní vlastnosti. Fourierova transformace na L2.
Mechanika kontinua
Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Mechanika kontinua, Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin a Termodynamika a mechanika pevných látek.
Kinematika kontinua
Popis pohybu spojitého prostředí. Deformace čarových, plošných a objemových elementů, deformace, deformační gradient, polární rozklad deformačního gradientu a jeho interpretace, pravý a levý Cauchyův–Greenův tenzor, Greenův–Saint-Venantův tenzor. Rychlost deformace čarových, plošných a objemových elementů. Zavedení materiálové a prostorové rychlosti, gradient rychlosti, symetrický gradient rychlosti, materiálová derivace. Isochorická deformace. Proudnice a proudočáry. Nutné a postačující podmínky pro materiálové plochy. Lagrangeův a Eulerův popis. Podmínky kompatibility pro tenzor malých deformací. Izotropní tenzorové funkce, věta o~reprezentaci izotropních tenzorových funkcí.
Dynamika kontinua
Bilanční rovnice (hmota, hybnost, moment hybnosti, celková energie, vnitřní energie, entropie) v~prostorovém i materiálovém popisu. Integrální tvar bilančních rovnic, princip lokalizace. Cauchyho tenzor napětí, první Piolův–Kirchhoffův tenzor napětí, Piolova transformace. Formulace bilančních rovnic v~neinerciální vztažné soustavě.
Jednoduché konstitutivní vztahy
Stlačitelná a nestlačitelná Navierova–Stokesova–Fourierova tekutina (viskózní tepelně vodivá tekutina), stavová rovnice ideálního plynu. Geometrická linearizace, linearizovaná teorie pro elastické pevné látky. Okrajové podmínky, okrajové podmínky pro posunutí a napětí.
Nenewtonské tekutiny
Bilanční rovnice termodynamiky kontinua v případě nenewtonovských tekutin, identifikace produkce entropie. Clausiova–Duhemova nerovnost. Předpoklad maximalizace rychlosti produkce entropie a jeho využití pro návrh matematických modelů pro tekutiny, pojem přirozené konfigurace. Přehled nenewtonovských jevů — závislost viskozity na symetrickém gradientu rychlosti a tlaku, rozdíl normálových napětí, aktivační/deaktivační kritéria, relaxace napětí (stress relaxation), tečení (non-linear creep). Princip objektivity a jeho důsledky, objektivní veličiny v mechanice tekutin, objektivní časová derivace. Využití věty o~reprezentaci izotropních tenzorových funkcí. Přehled nejpoužívanějších materiálových modelů pro nenewtonovské tekutiny. Tekutiny mocninného typu, tekutiny s~viskozitou závislou na tlaku, tekutiny Binghamova typu. Viskoleastické tekutiny a zjednodušené modely typu pružina–tlumič. Kortewegovy tekutiny.
Pevné látky
Princip objektivity a jeho důsledky, objektivní veličiny v mechanice pevných látek. Elastické materiály v~teorii konečných deformací, linearizovaná teorie. Nestlačitelné materiály v~teorii konečných deformací a v linearizované teorii. Elastický materiál jako materiál, který neprodukuje entropii, souvislost mezi tenzorem napětí a volnou energií. Hyperelastický materiál, příklady hyperelastických materiálů, chování vzhledem k determinantu deformačního gradientu. Variační formulace statické úlohy pro hyperelastický materiál. Viskoelastické pevné látky — Kelvinův–Voigtův model — a zjednodušené modely typu pružina–tlumič.