Matematické modelování ve fyzice a technice

Magisterský studijní obor Matematické modelování ve fyzice a technice je navržen pro studenty matematiky. (Obdobný program pro studenty fyziky se jmenuje Matematické a počítačové metody ve fyzice, detailní popis tohoto oboru lze nalézt zde.)

Kontakty

Pokud máte jakékoliv otázky ohledně studia matematického modelování, pište prosím na prusv@karlin.mff.cuni.cz (Vít Průša) nebo malek@karlin.mff.cuni.cz (Josef Málek).

Přijímací řízení

Průběh přijímacího řízení pro obor Matematické modelování ve fyzice a technice, včetně odkazů na vzorové zadání písemné přijímací zkoušky, je vyčerpávajícím způsobem popsán na stránkách garanta studijního programu matematika.

Upozorňujeme také, že přijímací zkouška vám může být prominuta, podrobnosti najdete na stránkách garanta studijního programu matematika.

Pokud se neorientujete v pokročilých matematických partiích jako je například funkcionální analýza, ale jste přesto silně motivování studovat matematické modelování, napište nám, a my vám doporučíme vhodné učebnice a materiály pro samostatné studium.

Očekáváme, že do navazujícího magisterského studia vstoupíte s dobrými znalostmi následující problematiky.

  • Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných. Limity, derivace, křivkový, plošný a objemový integrál. Základy variačního počtu.
  • Základy teorie míry, Lebesgueův integrál. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Teorie míry a integrálu I. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy lineární algebry. Vektorové prostory, matice, determinanty, Jordanův kanonický rozklad, ortogonalizace, vlastní vektory a vlastní čísla, multilineární algebra, kvadratické formy.
  • Základy numerického řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Schurova věta, QR rozklad, LU rozklad, singulární rozkla, metoda nejmenších čtverců, metoda sdružených gradientů, GMRES, zpětná chyba, citlivost a numerická stabilita. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Analýza maticových výpočtů I. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy komplexní analýzy. Cauchyho věta, reziduová věta, konformní zobrazení, Laplaceova transformace. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do komplexní analýzy. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy funkcionální analýzy a teorie metrických prostorů. Banachovy a Hilbertovy prostory, operátory a funkcionály, Hahnova-Banachova věta, duální prostory, omezené operátory, kompaktní operátory, teorie distribucí. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do funkcionální analýzy. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Existence řešení, maximální řešení, systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, základy teorie stability. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Obyčejné diferenciální rovnice. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy klasické teorie parciálních diferenciálních rovnic. Kvazilineání rovnice prvního řády, Laplaceova rovnice a rovnice pro vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou konečných diferencí. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.
  • Základy klasické mechaniky. Newtonovy pohybové zákony, Lagrangeovy rovnice, Hamiltonovy rovnice, variační principy, mechanika pevného tělesa. Problematika je vyučována například v rámci bakalářského předmětu Teoretická mechanika. Požadují se znalosti zhruba v rozsahu sylabu tohoto předmětu.

Studijní plán

Standardní doba studia je dva roky. Očekává se, že v prvním roce studia si zvolíte téma diplomové práce. Přednášky jsou rozděleny do tří kategorií: povinné, povinně volitelné a volitelné.

Povinné předměty musíte absolvovat všechny bez vyjímky. Podivný termín povinně volitelné znamená, že ze seznamu povinně volitelných předmětů musíte absolvovat alespoň některé, výběr je na vás. (Z povinně volitelných předmětů musíte získat určitý počet kreditů, podrobnosti najdete na fakultních stránkách.) Výběr povinně volitelných předmětů by měl souviset s problematikou studovanou v rámci diplomové práce. Promluvte si s vedoucím diplomové práce, jistě vám pomůže s výběrem. Volitelné předměty podléhají plně vašemu výběru.

Povinné předměty

Všechny tyto předměty musíte během studia absolvovat. V předposledním sloupci tabulky je vyznačen doporučený ročník studia. Kromě předmětů uvedených v tabulce si ještě musíte zapsat “virtuální” předměty Diplomová práce I, II, III. (Zapisují se v druhém, třetím a čtvrtém semestru studia.) Za tyto předměty dostanete zápočet od vedoucího diplomové práce. Očekává se, že také dvakrát vystoupíte na semináři Vybrané problémy matematického modelování. (Frázi “očekává se” si vykládejte tak, že vystoupení na semináři je většinou nutnou podmínkou k získání zápočtu z předmětu Diplomová práce I a III.)

Přednáška Obsah Rok Semestr
Funkcionální analýza I topologické prostory, slabá topologie, vektorová integrace, spektrální teorie 1 zimní
Mechanika kontinua úvod do mechaniky kontinua, kinematika, bilanční rovnice, linearizovaná pružnost, Navierova–Stokesova tekutina 1 zimní
Metoda konečných prvků I základy teorie metody konečných prvků, lineární eliptické parciální diferenciální rovnice 1 zimní
Parciální diferenciální rovnice 1 pojem slabého řešení, Lebesgueovy a Sobolevovy prostory, lineární eliptické parciální diferenciální rovnice 1 zimní
Termodynamika a statistická fyzika základní ideje, metody a výsledky z klasické rovnovážné termodynamiky a statistické fyziky 1 zimní
Parciální diferenciální rovnice 2 Bochnerovy prostory, lineární parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice 1 letní
Počítačové řešení úloh mechaniky kontinua přehled komerčních/akademických softwareových produktů pro numerické výpočty (Matlab, Femlab, FEniCS) a jejich využití pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, základní numerické knihovny (BLAS, Lapack, Petsc), knihovy pro konečné prvky (Feat, Featflow), knihovny pro paralelní výpočty (MPI, OpenMP) 1 letní
Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin nenewtonovské jevy, konstitutivní vztahy pro nenewtonovské tekutiny, termodynamika nenewtonovských tekutin 1 letní
Termodynamika a mechanika pevných látek mechanika a termodynamika pro nelineární pevné látky, konstitutivní vztahy pro nelineární pevné látky 1 letní
Maticové iterační metody iterační metody, metody založené na krylovovských podprostorech 2 zimní

Povinně volitelné předměty

Povinně volitelné předměty lze rozdělit do tří skupin – fyzikální předměty, teorie parciálních diferenciálních rovnic a numerická matematika. Z povinně volitelných předmětů musíte získat jistý počet kreditů, podrobnosti najdete na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty. Očekává se, že předměty budete volit s rozvahou a na základě doporučení vedoucího diplomové práce, a že se nebudete snažit volit předměty tak, aby byl výsledný soubor přemětů “co nejméně náročný” a podobně.

Přednáška Obsah Rok Semestr
Obyčejné diferenciální rovnice 2 dynamické systémy, Poincarého-Bendixsonova teorie, Carathéodoryho pojem řešení, optimální řízení, Pontryaginův princip maxima, bifurkace, stabilní, nestabilní a centrální varieta 1 zimní
Klasická elektrodynamika Maxwellovy rovnice, stacionární a kvazistacionární aproximace, elektromagnetické vlny 1 letní
Klasické úlohy mechaniky kontinua termální konvekce, teorie mezní vrstvy, stabilita proudění 1 letní
Biotermodynamika aplikace termodynamický postupů na živé systémy například buněčné membrány, buňky, svaly, kosti a podobně 1 letní
Matematické metody v mechanice nenewtonovských tekutin matematické metody a techniky pro zkoumání existence, jednoznačnosti, regularity a asymptotického chování slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících proudění nenewtonovských tekutin 2 zimní
Matematické metody v mechanice pevných látek matematické metody a techniky pro analýzy počátečních a okrajových úloh v mechanice a termodynamice pevných látek 2 zimní
Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 1 pseudomonotónní a monotónní operátory, mnohoznačné operátory a aplikace na nelineární eliptické parciální diferenciální rovnice a nerovnice 2 zimní
Numerické metody v mechanice tekutin 1 Stokesův problém, Oseenův problém, stacionární a nestacionární Navierovy-Stokesovy rovnice, řešitelnost diskretizovaných systémů, Babuškova-Brezziho podmínka 2 zimní
Numerický software 1 implementace numerických metod 2 zimní
Řešení nelineárních algebraických rovnic maticové iterační metody, projektivní metody, věty o střední hodnotě, jednokrokové stacionární iterační metody, soustavy nelineárních rovnic, metody spádových směrů, metody s lokálně omezeným krokem, strategie metody s lokálně omezeným krokem, Newtonova metoda, konvergence, modifikace Newtonovy metody, kvazinewtonovské postupy 2 zimní
Sedlobodové úlohy a jejich řešení sedlobodové úlohy, iterační metody, předpodmiňování, implementace, numerická stabilita 2 zimní
Teorie směsí mechanika a termodynamika směsí 2 zimní
Elektromagnetické pole a speciální teorie relativity elektrostatika, magnetostatika, elektromagnetismus (Maxwellovy rovnice, Lorentzova síla, elektromagnetické vlny, elektrické obvody), Minkowského časoprostor, Lorentzova transformce, relativistická fyzika částic, relativistická formulace teorie elektromagnetického pole 2 letní
Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic matematické metody a techniky pro zkoumání existence, jednoznačnosti, regularity a asymptotického chování slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících proudění nestlačitelné Navierovy-Stokesovy tekutiny 2 letní
Matematická teorie stlačitelných tekutin matematické metody a techniky pro zkoumání existence, jednoznačnosti, regularity a asymptotického chování slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících proudění stlačitelných tekutin 2 letní
Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 2 pseudomonotónní a monotónní operátory, mnohoznačné operátory a aplikace na nelineární parabolické parciální diferenciální rovnice a nerovnice 2 letní
Numerické metody v mechanice tekutin 2 Eulerovy rovnice, vlastnosti Eulerových rovnic, Cauchyho úloha, slabé řešení, metoda konečných objemů, síť konečných objemů, odvození základního schématu metody konečných objemů, vlastnosti numerického toku, konstrukce některých numerických toků, Godunovova metoda 2 letní
Numerický sowtware 2 implementace numerických metod 2 letní
Paralelní maticové výpočty výpočetní modely pro paralelní počítačové architektury, základní paralelní operace s hustými a řídkými maticemi, paralelizace přímých metod pro řídké matice, paralelní předpodmíněné krylovovské metody, paralelizace výpočtů rozdělením na oblasti a vícesíťové metody 2 letní
Parciální diferenciální rovnice 3 lineární a nelineární evoluční rovnice, teorie semigrup, asymptotické chování řešení parciáních diferenciálních rovnic, optimální řízení 2 zimní

Volitelné předměty

Výběr volitelných předmětů je čistě na vás, můžete si vybrat jakýkoliv předmět vyučovaný na Univerzitě Karlově. Pokud nevíte jaké předměty si zvolit, zeptejte se vedoucího diplomové práce nebo starších spolužáků, jistě vám dobře poradí. Vaší pozornosti by neměly uniknout tyto předměty.

Přednáška Obsah Rok Semestr
Kvalitativní vlastnosti řešení parciálních diferenciálních rovnic seminář zaměřený na diskusi klasických výsledků o regularitě a kvalitativních vlastnostech slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic 2 zimní
Regularita řešení Navierových-Sokesových rovnic diskuse nových výsledků v matematické teorii evolučních Navierových-Stokesových rovnic, pozornost bude věnována zejména regularitě řešení v třídimensionálním prostoru 2 zimní
Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic diskuse klasických výsledků o regularitě slabých řešení eliptických parciálních diferenciálních rovnic 2 letní
Seminář z parciálních dierenciálních rovnic seminář o nových výsledcích v teorii parciálních diferenciálních rovnic oba oba
Nečasův seminář z mechaniky kontinua tradiční výkumný seminář založený profesorem Jindřichem Nečasem, seminář (nejen) o nových výsledcích v matematické teorii mechaniky a termodynamiky kontinua oba oba
GENERIC — nerovnovážná termodynamika Termodynamika ve formalismu GENERIC (General Equation for Non-equilibrium Reversible-Irreversible Coupling). 2nd winter

Témata diplomových prací

Témata diplomových prací nabízených členy oddělení matematického modelování lze dohledat v Studijním informačním systému. Pokud máte zájem pracovat na diplomové práci na oboru matematickém modelování, můžete také přímo kontaktovat jednotlivé pracovníky oddělení matematického modelování či případně jiných pracovišť podílejících se na výuce na oboru matematické modelování a dohodnout se na vypsání dalšího tématu.

Státní závěrečná zkouška

Studium je po dvou letech završeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá z ústní části a z obhajoby diplomové práce.

Obhajoba diplomové práce

Student během dvaceti minut představí výsledky získané při řešení diplomové práce. Poté následuje diskuse, během které student reaguje na případné připomínky oponentů. (Posudky od oponentů jsou předem dostupné v Studijním informačním systému. Je naprosto nezbytné abyste kvalifikovaně reagovali na připomínky oponentů, důkladně se připravte!) Na závěr student zodpoví případné dotazy členů komise či dalších zúčastněných.

Ústní zkouška

Ústní zkouška spočívá v zodpovězení několika otázek týkajících se níže uvedených témat. V principu se jedná o témata probíraná v povinných předmětech studijního plánu.

Přesněji, zkouška probíhá tak, že student zodpoví celkem šest otázek z těchto oblastí

  • teorie parciálních diferenciálních rovnic (jedna otázka),
  • funkcionální analýza (jedna otázka),
  • metoda konečných prvků (jedna otázka),
  • teorie řešení systémů algebraických rovnic (jedna otázka),
  • kinematika a dynamika spojitého prostředí (jedna otázka),
  • teorie konstitutivních vztahů (jedna otázka).

Každé z odpovědí je zpravidla věnováno deset minut. Očekává se, že student prokáže hlubší pochopení jednotlivých témat a schopnost nahlédnout daná tvrzení v širším kontextu. (Neočekává se se důkladná znalost technických detailů v jednotlivých důkazech a podobně. Student by měl prokázat, že rozumí základním úvahám, které jsou použity při důkazech zásadních tvrzení, a měl by prokázat, že chápe proč jsou daná tvrzení/definice formulována právě daným způsobem. Detailní technickou znalost problematiky už jste prokázali během zkoušek z příslušných předmětů!) Seznam témat k ústní zkoušce je přiložen níže. V případě zájmu si můžete seznam témat stáhnout jako PDF soubor.


Parciální diferenciální rovnice

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student se rovněž velmi dobře orientuje v základech teorie parciálních diferenciálních rovnic ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii parciálních diferenciálních rovnic kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do parciálních diferenciálních rovnic.

Sobolevovy prostory

Slabá derivace, definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů Wk,p – reflexivita, separabilita, hustota hladkých funkcí, operátor prodloužení pro W1,p-funkce a lipschitzovskou hranici. Věty o spojitém a kompaktním vnoření Sobolevových prostorů do Lebesgueových a Hölderových prostorů. Zavedení stop pro funkce ze Sobolevových prostorů, věta o stopách, inverzní věta o stopách.

Slabá řešení pro lineární eliptické rovnice na omezené oblasti

Formulace slabé úlohy pro lineární eliptickou rovnici s různými okrajovými podmínkami, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci (symetrický operátor), pomocí Lax-Milgramova lematu respektive Galerkinovou metodou. Kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru. Fredholmova alternativa a její aplikace. Princip maxima pro slabé řešení. W2,2 regularita pomocí techniky diferencí. Samoadjungovaný operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu.

Slabá řešení pro nelineární eliptické rovnice na omezené oblasti

Úvod do variačního počtu, základní věta variačního počtu, duální formulace, souvislost s konvexitou. Existence a jednoznačnost řešení nelineárních úloh pomocí věty o pevném bodu (nelineární Lax-Milgram pro dvojkovou strukturu). Existence řešení pomocí Galerkinovy metody a Mintyho metody – monotónní operátor a semilineární člen.

Lineární parabolické rovnice 2. řádu

Bochnerovy prostory a jejich základní vlastnosti, Gelfandova trojice, Aubin-Lionsova věta. Slabá formulace, nabývání počáteční podmínky, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení (časová a prostorová), zhlazující vlastnost, princip maxima.

Lineární hyperbolické rovnice 2. řádu

Slabá formulace hyperbolického problému, nabývání počátečních podmínek, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost, regularita řešení (časová a prostorová), konečná rychlost šíření signálu.

Numerická matematika

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Metoda konečných prvků a Maticové iterační metody 1. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech numerické matematiky ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v látce probírané kupříkladu v přednáškách Analýza maticových výpočtů 1 a Základy numerické matematiky.

Metoda konečných prvků (MKP) pro řešení eliptických rovnic

Galerkinova a Ritzova metoda pro řešení abstraktní lineární eliptické rovnice. Odhad diskretizační chyby této metody – Céovo lemma. Definice abstraktního konečného prvku, jednoduché příklady konečných prvků Lagrangeova a Hermiteova typu. Teorie aproximací v Sobolevových prostorech: aproximační vlastnosti operátorů zachovávajících polynomy. Aplikace těchto výsledků pro prvky Lagrangeova a Hermiteova typu. Odvození řádu konvergence přibližných řešení konkrétních eliptických úloh 2. řádu. Odhad řádu konvergence v L2 normě – Nitscheho lemma.

Základy numerické integrace v MKP.

Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel

Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel Spektrální rozklad operátorů a matic. Invariantní podprostory a spektrální informace, normalita. Srovnání přímých a iteračních metod pro řešení lineárních algebraických soustav. Projekční proces a problém momentů. Popis konvergence iteračních metod. Souvislost mezi iteračními metodami pro řešení soustav rovnic a metodani pro výpočet vlastních čísel. Srovnání metod pro řešeni lineárních a nelineárních soustav algebraických rovnic. Numerická stabilita výpočtů a popis algebraické chyby v souvislosti s řešením problémů matematického modelování.

Funkcionální analýza

Zkoušená látka je částečně probírána v přednášce Funkcionální analýza I. Teorie prostorů funkcí je také částečně pokryta přednáškami Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech funkcionální analýzy ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do funkcionální analýzy.

Hilbertovy a Banachovy prostory

Definice, norma, skalární součin, příklady Banachových prostorů. Lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta. Duální prostory, reprezentace některých duálů (Hilbertovy prostory, Lebesgueovy prostory). Rieszova věta o reprezentaci. Slabá a *-slabá konvergence. Banach-Alaogluova věta. Slabá kompaktnost a reflexivita.

Spojitá lineární zobrazení

Definice, základní vlastnosti, norma, prostor lineárních zobrazení, adjungované zobrazení. Základní vlastnosti spektra a spektrálního poloměru, Gelfandova-Mazurova věta. Kompaktní operátory, symetrický operátor, samoadjungovaný operátor, uzávěr operátoru, uzavřený operátor, definice a vlastnosti adjungovaného operátoru. Vlastní čísla a vlastní funkce symetrických eliptických operátorů.

Věty o pevných bodech

Banachova věta, Brouwerova věta, Schauderova věta.

Integrální transformace a základy teorie distribucí

Definice Fourierovy transformace na L1 a její základní vlastnosti, věta o inverzi, Fourierova transformace konvoluce a derivace, Plancherelova věta. Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí), Schwarzův prostor a temperované distribuce, Fourierova transformace funkcí ze Schwarzova prostoru a temperovaných distribucí, její základní vlastnosti. Fourierova transformace na L2.

Mechanika kontinua

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Mechanika kontinua, Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin a Termodynamika a mechanika pevných látek.

Kinematika kontinua

Popis pohybu spojitého prostředí. Deformace čarových, plošných a objemových elementů, deformace, deformační gradient, polární rozklad deformačního gradientu a jeho interpretace, pravý a levý Cauchy-Greenův tenzor, Green-St. Venantův tenzor. Rychlost deformace čarových, plošných a objemových elementů. Zavedení materiálové a prostorové rychlosti, gradient rychlosti, symetrický gradient rychlosti, materiálová derivace. Proudnice a proudočáry. Nutné a postačující podmínky pro materiálové plochy. Lagrangeův a Eulerův popis. Podmínky kompatibility. Izotropní tenzorové funkce, věta o reprezentaci izotropních tenzorových funkcí.

Dynamika kontinua

Bilanční rovnice (hmota, hybnost, moment hybnosti, celková energie) v prostorovém i materiálovém popisu. Integrální tvar bilančních rovnic, princip lokalizace. Cauchy tenzor napětí, první Piola-Kirchhoff tenzor napětí. Formulace bilančních rovnic v neinerciální vztažné soustavě.

Jednoduché konstitutivní vztahy

Stlačitelná a nestlačitelná Navier-Stokes tekutina, linearizovaná pružnost, okrajové podmínky. Geometrická linearizace.

Nenewtonské tekutiny

Termodynamika kontinua, bilanční rovnice. Entropie. Rychlost produkce entropie. Nestlačitelnost. Předpoklad maximalizace rychlosti produkce entropie a jeho využití pro návrh matematických modelů. Podrobný přehled nenewtonovských jevů. Závislost viskozity na symetrickém gradientu rychlosti a tlaku, rozdíl normálových napětí, aktivační/deaktivační kritéria, relaxace napětí (stress relaxation), tečení (non-linear creep). Princip objektivity a jeho důsledky. Objektivní veličiny. Objektivní časové derivace, věta o reprezentaci izotropních tenzorových funkcí. Nejpoužívanější materiálové modely. Tekutiny diferenciálního, integrálního a rychlostního typu. Tekutiny mocninného typu, tekutiny s viskozitou závislou na tlaku, tekutiny Binghamova typu.

Pevné látky

Princip objektivity a jeho důsledky. Objektivní veličiny. Elastické materiály v konečné pružnosti, linearizovaná teorie, nestlačitelné materiály v konečné pružnosti i linearizované teorii, hyperelasticita, chování modelu vzhledem k determinantu gradientu deformace, definice prvního Piola–Kirchhoffova tenzoru napětí v případě hyperelastického materiálu, materiálové modely v konečné pružnosti, elastické konstanty hyperelastického materiálu, homogenní-nehomogenní materiál.

Rheologické modely, Kelvinův-Voigtův materiál, Maxwellův materiál, viskózní materiály s vedením tepla, termoelastický materiál, adiabatický materiál. Clausiova-Duhemova nerovnost a její důsledky pro konstitutivní vztahy.