Bakalářský studijní program Matematické modelování bude nově otevřen v akademickém roce 2019/2020. Studijní program je zatím nabízen pouze v českém jazyce, informace o bakalářském studijním programu jsou taktéž dostupné na samostatné internetové stránce bcmod.karlin.mff.cuni.cz.
Co je to matematické modelování?
Bakalářský studijní program Matematické modelování sdílí stejnou filosofii se stejnojmennými magisterskými a doktorskými studijními programy. Matematické modelování je tedy studium na pomezí matematiky a fyziky, což jsou obory tradičně pěstované na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy, a studium je zaměřeno matematické analytické a výpočtové metody v kontextu jejich aplikací zejména ve vybraných fyzikálních oborech.
Proč je takové mezioborové studium důležité? Soudobý výzkum a vývoj v přírodních a aplikovaných vědách se ve velké míře opírá o počítačové výpočty a náročné počítačové výpočty vyžadují hlubokou praktickou i teoretickou znalost použitých matematických technik a také příslušného vědního oboru, kterým je typicky některý z oborů fyziky. Studijní program Matematické modelování vám poskytne potřebné základní znalosti v tomto směru. Po absolvování programu můžete přejít přímo do praxe, nebo si své znalosti dále prohloubit v navazujících magisterských programech Matematické modelování ve fyzice a technice a Matematické a počítačové metody ve fyzice a případně dalších fyzikálních studijních programech.
Co se na matematickém modelování naučíte?
Získáte základní teoretické znalosti o matematických analytických a numerických metodách potřebných pro matematické modelování přírodních jevů, přičemž se zejména jedná o metody pro studium dynamických systémů popsaných obyčejnými nebo parciálními diferenciálními rovnicemi. Příslušné matematické metody dokážete uplatnit při počítačových výpočtech ve vybraných vědních oborech, zejména ve fyzice. Jmenovitě budete schopní navrhnout jednoduché matematické modely pro dané přírodní/technické/společenské jevy, prozkoumat základní matematické vlastnosti navržených modelů, vybrat odpovídající numerickou metodu pro počítačové zpracování a vyhodnotit možnosti a omezení daných modelů z hlediska jejich využitelnosti při zkoumání odpovídajících praktických otázek. Budete připraveni pracovat v mezioborově zaměřených týmech.
Podrobný rozpis studijního plánu programu matematické modelování najdete níže.
Po skončení studia
Studenti matematického modelování najdou uplatnění v těch oborech lidské činnosti, které staví na použivání matematických modelů. Uplatní se ve výzkumu a vývoji v přírodních, aplikovaných a společenských vědách a to jak v akademické, tak komerční sféře.
Své znalosti si může dále prohloubit v navazujících magisterských programech Matematické modelování ve fyzice a technice a Matematické a počítačové metody ve fyzice a případně dalších fyzikálních studijních programech na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy či v rámci obdobných programů na jiných univerzitách.
Přijímací řízení
Průběh přijímacího řízení pro program Matematické modelování je podrobně popsán na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty. Upozorňujeme také, že přijímací zkouška vám může být prominuta, podrobnosti opět najdete na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty.
Studijní plán
Standardní doba studia je tři roky. Očekává se, že v třetím roce studia si zvolíte téma bakalářské práce. Přednášky jsou rozděleny do tří kategorií: povinné, povinně volitelné a volitelné.
Povinné předměty musíte absolvovat všechny bez vyjímky. Podivný termín povinně volitelné znamená, že ze seznamu povinně volitelných předmětů musíte absolvovat alespoň některé, výběr je na vás. (Z povinně volitelných předmětů musíte získat určitý počet kreditů, podrobnosti najdete na fakultních stránkách.) Výběr povinně volitelných předmětů by měl souviset s problematikou studovanou například v rámci vaší bakalářské práce, případně by se měl řídít vašimi představami o dalším směřování studia v navazujících magisterských oborech. Volitelné předměty podléhají plně vašemu výběru.
Povinné předměty
Všechny tyto předměty musíte během studia absolvovat. V předposledním sloupci tabulky je vyznačen doporučený ročník studia. Kromě předmětů uvedených v tabulce si ještě musíte zapsat “virtuální” předměty Seminář k bakalářské práci I a II a Vypracování a konzultace bakalářské práce. (Zapisují se v pátém a šestém semestru studia.) Za tyto předměty dostanete zápočet od vedoucího bakalářské práce.
| Přednáška | Obsah | Rok | Semestr |
|---|---|---|---|
| Matematická analýza I | diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné | 1 | zimní |
| Lineární algebra I | základní operace s maticemi, řešení soustav lineárních rovnic, aritmetické vektorové prostory, lineární závislost, lineární obal, dimenze, ortogonalita a ortogonalizace, rozklady matic, problém nejmenších čtverců, determinanty | 1 | zimní |
| Mechanika a molekulová fyzika | kinematika a dynamika hmotného bodu, soustava hmotných bodů a mechanika tuhého tělesa, kmity a vlnění, základy mechaniky spojitých prostředí, základy termodynamiky, molekulárně kinetická teorie látek | 1 | zimní |
| Matematická analýza II | číselné a mocninné řady, obyčejné diferenciální rovnice — základní teorie, funkce více proměnných, základy variačního počtu v jedné dimenzi | 1 | letní |
| Lineární algebra II | skalární součin, vlastní čísla a vlastní vektory, diagonalizace, ortogonální diagonalizace, bilineární a kvadratické formy | 1 | letní |
| Elektřina a magnetismus | elektrostatika, elektrický proud a stacionární elektrické pole, metody řešení lineárních stacionárních obvodů, stacionární magnetické pole, kvazistacionární elektrické a magnetické pole, metody řešení střídavých obvodů, nestacionární elektromagnetické pole, dielektrické a magnetické vlastnosti látek, elektrické transportní jevy | 1 | letní |
| Matematika pro fyziky I | posloupnosti a řady funkcí, vícerozměrný integrál, elmentární teorie míry, Lebesgueův integrál, křivkový integrál, plošný integrál, Fourierovy řady, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech | 2 | zimní |
| Základy numerické matematiky | problémy v numerické matematice: přímý problém, inverzní problém, identifikační problém; chyby v numerické matematice: přímá chyba, zpětná chyba, chyba rezidua; problém vlastních čísel versus rozklady; Schurova věta a její důsledky; Ortogonalita, QR rozklady, cena výpočtu; LU rozklady a přímé řešení soustav rovnic; kontrola růstu numerických chyb; singulární rozklad matice; úloha nejmenších čtverců; iterační metody založené na štěpění operátoru; mocninná metoda pro výpočet vlastních čísel; myšlenka krylovovských metod; nelineární algebraické rovnice, Newtonova metoda, metody založené na pevném bodě; interpolace funkcí, Lagrangeova interpolace, spline funkce; numerická kvadratura, Newton-Cotesovy a Gaussovy vzorce; numerické metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, Runge-Kuttovy metody, vícekrokové metody, stabilita, řád metody; základy numerické optimalizace, podmínky pro existenci minima funkcí více proměnných, metoda největšího spádu | 2 | zimní |
| Teoretická mechanika | pohyb hmotných bodů podrobených vazbám; Lagrangeovy rovnice II.druhu; pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu; pohyb planet a další aplikace; Hamiltonův variační princip; Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky; kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie; mechanika tuhého tělesa; Eulerovy rovnice a setrvačníky; teorie kontinua, základní veličiny a rovnice pro popis kontinua, nejzajímavější důsledky rovnic kontinua | 2 | zimní |
| Pravděpodobnost | základy teorie pravděpodobnosti a statistického uvažování; matematická axiomatika pravděpodobnosti, výpočetní vzorce, náhodné veličiny a vektory a jejich rozdělení, charakteristiky náhodných veličin; konvergence v pravděpodobnosti a v distribuci, zákon velkých čísel a centrální limitní věta, Markovova, Čebyševova a Chernoffova nerovnost; použití limitních vět a nerovností; pdhad parametru a pravděpodobnosti pomocí limitních vět | 2 | zimní |
| Počítačové řešení fyzikálních úloh | řešení konkrétních fyzikálních úloh pomocí již probraných matematických technik a dostupného programového vybavení pro numerické a symbolické výpočty (Mathematica, Matlab, knihovny pro vědecko-technické výpočty v jazyce Python a případně jiných jazycích) | 2 | letní |
| Matematika pro fyziky II | komplexní analýza, Fourierova transformace funkcí, úvod do teorie distribucí, Fourierova transformace | 2 | letní |
| Obyčejné diferenciální rovnice | soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu – existence a jednoznačnost řešení; vlastnosti maximálních řešení; soustavy lineárních rovnic – fundamentální matice, wronskián, variace konstant; exponenciála matice; stabilita a asymptotická stabilita; první integrál, metoda charakteristik; rovnice vyššího řádu; hlubší výsledky o stabilitě | 2 | letní |
| Mechanika kontinua | koncept spojitého prostředí; geometrie deformace; kinematika deformace; tenzor napětí; zákony zachování hmoty, hybnosti, momentu hybnosti a energie; materiálové vztahy – koncept objektivity, jednoduché materiály, materiálové symetrie, homogenní a izotropní materiály, termodynamická kompatibilita; fenomenologický popis materiálů, elasticita, viskozita, plasticita; Navierova-Stokesova rovnice | 2 | letní |
| Rovnice matematické fyziky | rovnice vedení tepla — Cauchyova úloha pro rovnici vedení tepla, nalezení Greenovy funkce úlohy s počáteční podmínkou pomocí Fourierovy transformace, vedení tepla na polopřímce a úsečce a kouli; vlnová rovnice — Cauchyova úloha s dvojicí počátečních podmínek, nalezení elementární vlnové funkce v jedné prostorové dimenzi, d’Alembertův vzorec, vlnový kužel a konečná rychlost šíření informací, Odvození elementární vlnové funkce ve dvou a třech prostorových dimenzích, plošná distribuce, jednovrstva a dvojvrstva; Laplaceova—Poissonova rovnice — řešení na celém prostoru a řešení na oblasti s hranicí, zadávání okrajových podmínek na hranici, Dirichletova a Neumannova podmínka, smíšená podmínka, problémy jednoznačnosti, příklady na nejednoznačná řešení, elementární řešení, řešení na kouli, řešení pro polorovinu; závěrečné poznámky — transportní rovnice, metoda charakteristik | 3 | zimní |
| Termodynamika a statistická fyzika | teplota, entropie, jednoatomový ideální plyn, klasická termodynamika, klasická statistická mechanika, statistický výpočet termodynamických veličin, fázové změny a chemická rovnováha, počítačové simulační metody | 3 | zimní |
| Analýza maticových výpočtů I | maticové rozklady, řešení lineárních aproximačních problémů, Krylovovy prostory, Arnoldiho a Lanczosova metoda pro výpočet báze, Krylovovské metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic, maticové funkce, speciální matice | 3 | zimní |
| Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic | úvod do metody konečných diferencí, numerické řešení transportní rovnice, numerické řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla v 1D, analýza obecného schématu pro rovnice 1. řádu v čase, numerické řešení eliptických rovnic | 3 | letní |
| Funkcionální analýza pro fyziky | opakování důležitých poznatků o konečně dimenzionálních vektorových prostorech a lineárních zobrazeních — prostory funkcí, metrický prostor, normovaný prostor; Banachovy a Hilbertovy prostory; otázka kompaktnosti v konečnědimenzionálních a nekonečnědimenzionálních prostorech; lineární operátory — spojité lineární operátory, příklady, Hahn-Banach věta a její důsledky, duální prostory, slabá a slabá-* konvergence, reflexivní prostory, Banach-Alaoglu věta; omezené lineární operátory — princip stejnoměrné omezenosti, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu, adjungovaný operátor, kompaktní operátor; Hilbertovy prostory — ortogonální projekce, Rieszova věta o reprezentaci, Lax-Milgram lemma a jeho aplikace v teorii parciálních difereniciálních rovnic, úvod do Sobolevových prostorů, kompaktní operátory, Fredholmova alternativa, spektrum, samoadjungované operátory, Hilbert-Schmidt věta |
3 | letní |
Povinně volitelné předměty
Povinně volitelné předměty vám poskytnou možnost rozšířit si základní znalosti na základě vašeho vlastního výpěru. Z povinně volitelných předmětů musíte získat jistý počet kreditů, podrobnosti najdete na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty. Očekává se, že předměty budete volit s rozvahou a v souladu se zaměřením vaší bakalářské práce, a že se nebudete snažit volit předměty tak, aby byl výsledný soubor přemětů “co nejméně náročný” a podobně.
| Přednáška | Obsah | Rok | Semestr |
|---|---|---|---|
| Programování 1 | základy jazyka Python, cykly a pole, třídění a vyhledávání, funkce, využívání knihoven, seznamy a řetězce, základní datové struktury, objekty a třídy, práce se soubory | 2 | zimní |
| Programování 2 | algoritmy a jejich složitost, třídění, reprezentace dat v paměti, rekurze, základní grafové algoritmy, metoda rozděl a panuj, pravděpodobnostní algoritmy | 2 | letní |
| Programování 3 | nízkoúrovňové programování v C/C++, principy počítačů, jazyk C — principy a syntax, práce s ukazateli, preprocesor, knihovny, jazyk C++ a objektově orientované programování — principy OOP, specifika jazyka C++, knihovny | 3 | zimní |
| Geometrie 1 | afinní a eukleidovská geometrie, grupy eukleidovských a afinních transformací, projektivní geometrie, diferenciální geometrie křivek, křivkový integrál 1. a 2. druhu | 3 | zimní |
| Geometrie 2 | elementární úvod do vektorového počtu, věta o potenciálu, Greenova a Gaussova věta; vnější algebra vektorového prostoru, vlastnosti vnějšího násobení, orientace; diferenciální formy na otevřených množinách, vnější diferenciál, formy v dimenzi 3; přenášení diferenciálních forem pomocí zobrazení, integrační obory; Stokesova věta pro formy stupně k, Gaussova věta pro oblast s hladkou hranicí; regulární a zobecněné plochy, orientace, Stokesova věta pro zobecněné formy; integrál 1. druhu z funkce přes zobecněnou plochu; plochy v R3, 1. fundamentální forma plochy, tečný a normálový prostor plochy, 2. fundamentální forma plochy, normálová, Gaussova a střední křivost; hlavní a asymptotické křivky, Gaussovo zobrazení, Christoffelovy symboly; geodetická křivost, geodetiky, rovnice pro geodetiky; Riemannova metrika, modely hyperbolické geometrie | 3 | letní |
| Diskrétní matematika | množiny a operace s nimi; relace, funkce, ekvivalence; kombinatorické počítání; grafy, jejich isomorfismus a metrika; stromy a jejich vlastnosti; částečná a lineární uspořádání; prostory cyklů a řezů | 3 | zimní |
| Analýza maticových výpočtů 2 | základní pojmy teorie citlivosti a numerické stability; citlivost vlastních čísel matic pro obecné a normální matice, spojitost a diferencovatelnost, podmíněnost jednoduchého vlastního čísla, pseudospektrum; odhady zpětné chyby při výpočtu vlastních čísel a řešení soustav lineárních algebraických rovnic; QR algoritmus pro řešení úplného problému vlastních čísel; inverzní mocninná metoda a simultánní iterace | 3 | letní |
| Geometrické modelování | základní matematické principy reprezentace křivek a ploch v geometrických aplikacích; po částech lineární aproximace, odhad křivosti, kruhové splajny, geometrická a analytická interpolace, Bézierovy křivky, De Casteljau algoritmus, racionální křivky a plochy, B-spline křivky a plochy, tenzorové plochy, subdivision | 3 | zimní |
| Úvod do metody konečných prvků | diskretizace obyčejných diferenciálních rovnic metodou konečných prvků; odhady chyby přibližného řešení; adaptace sítě; metoda konečných prvků ve více dimenzích; diskrétní princip maxima; superclose property, postprocessing; aproximace výpočetní oblasti | 3 | letní |
| Speciální teorie relativity | experimentální základ a výchozí principy speciální teorie relativity, jejich bezprostřední důsledky a Lorentzova transformace; Minkowského prostoročas, tenzorový zápis fyzikálních zákonů; relativistická mechanika, relativistická elektrodynamika ve vakuu; vzhled objektů ve speciální relativitě; variační principy. | 2 | zimní |
| Úvod do kvantové mechaniky | základní zákony kvantové mechaniky; Schrödingerova rovnice; příklady řešení Schrödingerovy rovnice; relace neurčitosti; rozvinutí aparátu kvantové mechaniky; lineární harmonický oscilátor; kvantování momentu hybnosti; spin elektronu; vodíku podobný atom | 2 | letní |
| Klasická elektrodynamika | Maxwellovy rovnice; statické, stacionární a kvazistacionární přiblížení; metody řešení; elektrostatika; časově neměnná magnetická pole; kvazistacionární přiblížení; nestacionární elektromagnetické pole; vybraná homogenní řešení Maxwellových rovnic; nehomogenní vlnová rovnice | 2 | letní |
Volitelné předměty
Výběr volitelných předmětů je čistě na vás, můžete si vybrat jakýkoliv předmět vyučovaný na Univerzitě Karlově. Pokud nevíte jaké předměty si zvolit, zeptejte se vedoucího bakálářské práce nebo starších spolužáků, jistě vám dobře poradí.
Témata bakalářských prací
Témata bakalářských prací nabízených členy oddělení matematického modelování lze dohledat v Studijním informačním systému. Pokud máte zájem pracovat na bakalářské práci zaměřené na matematické modelování, můžete také přímo kontaktovat jednotlivé pracovníky oddělení matematického modelování či případně jiných pracovišť podílejících se na výuce na programu matematické modelování a dohodnout se na vypsání dalšího tématu.
Státní závěrečná zkouška
Studium je po třech letech završeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá z ústní části a z obhajoby bakalářské práce.
Požadavky k státní závěrečné zkoušce jsou podrobně rozepsány na internetových stránkách Matematicko-fyzikální fakulty.
Kontakty
Pokud máte jakékoliv otázky ohledně studia matematického modelování, pište prosím na prusv@karlin.mff.cuni.cz (Vít Průša).